finite integration höherer ordnung

Finite Integration höherer Ordnung

Grundlagen:

Die Methode der Finiten Integration stellt eine exakte Diskretisierung der vier Maxwellschen Gleichungen dar, da die räumlichen Operatoren C und S lediglich die topologischen Relationen zur Berechnung geschlossener Linien- und Flächenintegrale auf dem Gitter ausdrücken. Näherungen werden erst bei der Verkopplung der Gitter-Maxwell-Gleichungen (durch die sog. Materialmatrizen) und – im Zeitbereich – bei der Diskretisierung der Zeitachse benötigt.

Das klassische Verfahren der Finiten Integration beruht auf einer Diskretisierungsvorschrift von maximal zweiter Ordnung, d.h. die Genauigkeit der berechneten Lösung nähert sich mit zunehmendem Diskretisierungsaufwand quadratisch der eigentlichen Lösung an. Eine Verbesserung der Fehlerkonvergenz kann mit Hilfe von Ansätzen höherer Ordnung erreicht werden. Hierbei sind zwei getrennt voneinander zu diskretisierde Sphären zu untersuchen:

  • Die räumliche Diskretisierung, die z.B. in den Bereichen Statik und zeitharmonische Feldberechnung (Frequenzbereich) allein für die Genauigkeit der Lösung verantwortlich ist.
  • Die zeitliche Diskretisierung, die die Güte des zeitlichen Integrationsverfahrens in der Quasistatik (implizite Verfahren) und bei transienten HF-Feldproblemen (meist explizite Verfahren) bestimmt und dann zusammen mit der räumlichen Diskretisierung für die Gesamtkonvergenz des Verfahrens verantwortlich ist.

Höhere Ordnung in Raum und Zeit:

Ziel des Forschungsvorhabens ist die Entwicklung von Verfahren höherer Ordnung für beide Sphären, die es erlauben, durch eine verbesserte räumliche und zeitliche Auflösung große Strukturen mit geringerem Diskretisierungsaufwand bei konstanter Qualität des Fehlers, bzw. eine gegebene Struktur bei gleichbleibender Diskretisierung (räumliches und zeitliches Gitter) mit höherer Genauigkeit zu berechnen. Exemplarisch werden diese Verfahren auf dem Gebiet der zeitharmonischen und transienten Feldberechnung erprobt, hierbei werden einfache Teststrukturen verwendet, deren analytische Lösungen bekannt sind. Die Entwicklung und Implementation erfolgt mit einem objektorientierten Ansatz, der eine beliebige Kombination der einzelnen Methoden ermöglicht und eine Testplatform zur Gegenüberstellung aller getesteten Verfahren bietet.

Strategien und Beispiele:

Räumliches Verfahren:

Verschiedene Techniken zur Realisierung von Operatoren mit höherer Fehlerordnung werden zur Zeit getestet.

Zeitliche Integration:

Schwerpunkt bildet die Entwicklung expliziter Integrationsverfahren höherer Ordnung, die im Berech transienter Feldberechnung Anwendung finden. Im Vordergrund steht hierbei die Erweiterung des klassischen Leap-Frog Verfahrens und eine Gegenüberstellung zur bekannten Runge-Kutta Methode. Basis der expliziten Verfahren ist hierbei die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung im zeitdiskreten Raum. Die Approximation des auftretenden Exponentialausdrucks der Systemmatrix durch eine abgebrochene Taylorreihe liefert den Ausgangspunkt für Integrationsvorschriften beliebiger Ordnung. Die Verwendung eines einzigen zeitlichen Gitters führt zu einem Runge-Kutta Verfahren beliebiger Ordnung, die Einführung zweier um jeweils einen halben Zeitschritt versetzten Gitter resultiert in einem erweiterten Leap-Frog Verfahren. Hierbei werden Verfahren für verlustloses sowie verlustbehaftetes Materialverhalten untersucht.

Diskretes Übertragungsystem zur Beschreibung des zeitlichen Integrationsprozesses
Diskretes Übertragungsystem zur Beschreibung des zeitlichen Integrationsprozesses

Explizite Zeitintegrationsschemen zeichnen sich durch ein bedingtes Stabilitätsverhalten aus. Zur Untersuchung der Stabilität können solche Verfahren als diskrete Übertragungssysteme dargestellt werden. Das Verfahren der Wurzelortskurve bietet dann auch für den Bereich der transienten Feldberechnung eine universelle und exakte Analysemethode zur Bestimmung des maximal stabilien Zeitschrittes.

Veröffentlichungen zum Thema:

  • H. Spachmann, R. Schuhmann, T. Weiland: Convergence, Stability and Dispersion Analysis of Higher Order Leap-Frog Schemes for Maxwell's Equations. ACES 2001, Monterey.
  • H. Spachmann, R. Schuhmann, T. Weiland: Higher Order Explicit Time Integration Schemes for Maxwell's Equations. Accepted for presentation at: CEM-TD, Nottingham, Sept 2001.