integration auf nicht orthogonalen gittern

Finite Integration mit nichtorthogonalen Gittern

Grundlagen:

Die Methode der Finiten Integration (FIT) ist bereits in ihrer klassischen Formulierung auf eine große Anzahl verschiedener Typen von Rechengittern anwendbar. Erfolgreiche Implementierungen bestehen u.a. für zwei- und dreidimensionale karteische Gitter, Gitter in Zylinderkoordinaten und spezielle zweidimensionale Dreiecksgitter.

Eine wichtige Voraussetzung ist bei Verwendung der klassischen FI-Methode allerdings die Orthogonalität von primärem und dualem Gitter, d.h. Gitterlinien des einen Gitters und Flächen des jeweils anderen Gitters müssen sich jeweils unter rechtem Winkel schneiden. (Dagegen besteht keine Einschränkung bezüglich des Schnittwinkels der Gitterlinien eines Gitters.)

Ziel des Forschungsprojektes ist es daher, durch eine Verfahrenserweiterung auch nichtorthogonale Gittersystems zulassen zu können und dadurch zu einer größeren Flexibilität bei der Gittergenerierung zu gelangen. Ausführlich untersucht wurde bisher die wichtige Klasse strukturierter nichtorthogonaler Gittersysteme, deren Topologie der eines kartesischen Systems entspricht.

Die Nichtorthogonale FI-Methode (NFIT):

Beim Einsatz solcher strukturierten nichtorthogonalen Gittersysteme können die Matrixoperatoren S und C der FI-Methode, die nur die Topologie der Gitter beschreiben, in unveränderter Form weiter verwendet werden. Angepasst werden müssen lediglich die Materialmatrizen: Eine 1:1 Beziehung zwischen Gitterspannung und zugeordnetem Gitterfluss ist aufgrund der unterschiedlichen Richtungen von Gitterkante und Flächennormale nun nicht mehr möglich.

no shema

Stattdessen kommt ein neuer Materialoperator zum Einsatz, der umliegende Flussgrößen zunächst interpoliert und dann unter Verwendung einer lokal ausgewerteten diskreten Metrik auf die neue Richtung projiziert. Dabei ist unbedingt zu beachten, dass dieses Interpolations- und Projektionsschema zu einem symmetrischen Materialoperaotor führt, da nur dann die Stabilität des gesamten Verfahrens gewährleistet ist. Hierzu wurde ein lokales Diskretisierungsschema für die diskrete Metrik im Gitter eingeführt.

no matrix

Dieses Vorgehen führt schließlich zu einer nichtdiagnoalen Materialmatrix in Block-Bandformat mit bis zu 8 Nebendiagonalen. Diese Matrizen können nun anstelle der üblichen Diagonalmatrizen sowohl in expliziten Zeitbereichsalgorithmen (HF), als auch in 2D- und 3D-Eigenwertproblemen sowie in einem impliziten Schema für quaisstatische Berechnungen eingesetzt werden.

Gittererzeugung:

Um die Nichtorthogonale FI-Methode überhaupt bei praktisch relevanten Problemen einsetzen zu können, muss ein Verfahren zur Generierung angepasster nichtorthogonaler strukturierter Gitter entwickelt und implementiert werden.

In einem Projektionsverfahren geht man dabei von einem kartesischen Basisgitter aus und verschiebt lokal Gitterpunkte auf die Oberflächen der Struktur. Von großer Bedeutung ist dabei die Entscheidung, welcher der umliegenden Punkte jeweils verschoben werden soll, da nur durch ein geeignetes Kriteriums hier Entartungen von einzelnen Zellen (also Gitterwinkel um 180°) vermieden werden können. Durch die Verwendung eines verallgemeinerten Füllmodus für die Zellen, bei dem pyramidenförmige Teilfüllungen zugelassen sind, und durch die Implementierung eines Glättungsalgorithmus für die nichtorthogonalen Gitters gelangt man schließlich zu strukturangepassten Gittern, die eine höchstmögliche Genauigkeit bei der geometrischen Modellierung gewährleisten

wave

Beispiele:

2D-Gitter (Ausschnitt aus einer dreidimensionalen Simulation) zur Modellierung eines koaxialen Wellenleiters. Mit nur sehr wenigen Gitterpunkten und einem sehr gut geglätteten Gitter wird eine sehr gute geometrische Approximation des Leiters erreicht. (Innenleiter bereits in der Strukturbeschreibung quadratisch.)

drehwg klein

Elektrisches Feld auf der Oberfläche eines gedrehten Wellenleiters. Die Diskretisierung mit einem nichtorthogonalen Gitter erfasst in nahezu perfekter Weise die Geometrie der Struktur. Bei gleicher Genauigkeit (etwa für den Reflexionsparameter) lassen sich bei diesem Beispiele im Vergleich mit der klassischen FI-Methode einige Größenordnungen an Rechenaufwand einsparen.

Animation

rotation symmetrie

Elektrisches Feld in einer Zelle einer (rotationssymmetrischen) TESLA-Beschleunigungsstruktur (2D-Schnitt aus einem vollautomatisch generierten dreidimensionalen nichtorthogonalen Gitter). Man erkennt wieder die hochgenaue geometrische Approximation bei einem nahezu äquidistanten Gitter unter Verwendung von dreiecksförmigen Teilfüllungen.

Veröffentlichungen zum Thema:

  • R. Schuhmann, T. Weiland: Stability of the FDTD Algorithm on Nonorthogonal Grids Related to the Spatial Interpolation Scheme. IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 34,5, S. 2751-2754, 1998.
  • R. Schuhmann, T. Weiland: A Stable Interpolation Technique for FDTD on Nonorthogonal Grids. Int. J. of Num. Modelling, Vol 11, No. 6, 1998, pp. 299-306.
  • M. Hilgner, R. Schuhmann, T. Weiland: Advanced Generation of Structured Hexahedral Grids for Electromagnetic Field Computations with the Finite Integration Technique. ACES '00.